Unidad 4: Ecuaciones e Inecuaciones (Definicion, Tipos), Representacion

  Ecuaciónes: es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.

Un ejemplo simple seria tenenms el doble de manzanas que debimos traer, pero se comieron 5 ya y ahora solo quedan 7, es una operacion sencilla que se puede resolver en la cabeza, (en este caso la cantidad de manzanas es la incognita)

si decimos, 2X-5=7, se resuelve  2X=7+5,  2x=12,  X=12/2,  X = 6 

y ahi podriamos quedar claro que X=6 al realizar, 2X-5=7,  2(6)-5=7,  12-5=7,  7 = 7

Ecuaciones de Primer Grado

Estos son los pasos para poder resolvelos:

• En primer lugar debemos “quitar los paréntesis o corchetes” , si es que existen. Para ello, operamos dentro de ellos y hacemos las operaciones asociadas externas (algo que multiplique o divida al paréntesis)
• Despues debemos “quitar denominadores” Para ello hacemos la suma de las fracciones que aparecen, podemos hacerlo de varias formas (como el caso de los denominadores pasan multiplicando a los numeradores del otro lado de la igualdad
• Por último operamos y separamos a un lado de la igualdad las incógnitas y al otro los números (recordemos que lo que suma pasa restando y viceversa). 

Ecuaciones de Segundo Grado 

Ya sabemos que toda expresión del tipo ax2(al cuadrado) + bx + c =0 ( donde a, b y c son 

números) es una ecuación de segundo grado. Resolver esta ecuación consiste en encontrar los valores de x que hacen que la expresión sea cierta.

Por ejemplo en la ecuación de segundo grado 

x2–2x–3=0 las soluciones son los números x =–1 y x =3 pues son los únicos que al sustituirlos en x2–2x–3 hacen que esa expresión sea igual a cero .

 Asi: 

 Si x = –1 es (–1)2 –2.( –1) – 3 = 1+2–3 =0 

 Si x = 3 es ( 3 )2–2.( 3 ) – 3 = 9–6–3 =0 

Para calcular estos valores basta con aplicar la fórmula: 

Hay que tener cuidado pues al sustituir a, b y c por los valores correspondientes hay 

que tener en cuenta los signos de estos.

Ej de otro ejercicio:

  Inecuaciones: es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del tipo < o > (menor o mayor) se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo ≤ o ≥ (menor o igual que, mayor o igaul que) se denomina inecuación en sentido amplio.

La diferencia más clara es que en inecuaciones se usan símbolos del tipo > < , y ≥ ≤ 

Su significado es parecido al de las ecuaciones lo que ocurre es que son menos concretas, pues ,en general , las soluciones de una inecuación no van a ser ni una , ni dos , ni tres. Pueden incluso ser infinitas. Por ejemplo: 

si decimos que una mesa tiene 140 cm, lo mido con la palma de mi mano y resulta que con 6 veces mi mano no fue suficiente, esto seria asi: (en este caso la longitud de mi mano es la incognita)

 6X < 140,  X < 140/6,  X < 23,3 (y como se sabe esta no es una lectura exacta ya que abarca a todos los numeros menores que 23,3)


Inecuaciones de Primer Grado 

Ya sabemos que para resolverlas hay que aplicar los mismos pasos que para 
resolver ecuaciones, asi: 

Aquí está la única diferencia con el modo de trabajar en la ecuaciones, ya que en una Inecuacion se representa al final a que lado de la infinidad se trabaja el ejercicio en este caso al lado del negativo 

Inecuaciones de Segundo Grado

Este tipo de inecuaciones son de la forma ax2(al cuadrado)+ bx + c < 0 , o con los símbolos >,≥,≤

Para resolverlas hay que factorizar el polinomio de segundo grado, es decir , encontrar los valores que permiten escribir el polinomio como producto de factores del tipo (x–a). Factorizar un polinomio de 2º grado es muy fácil , basta con saber que los números buscados son las soluciones del polinomio.

Por ejemplo , si el polinomio es x2–6x+8 , entonces aplicando, la formula
obtenemos que sus soluciones son : x = 2 y x = 4 . Esto quiere decir que : 
x2–6x+8 = ( x–2 )•( x–4 )

Supongamos que queremos resolver la inecuación de 2ºgrado: 
x2-6x+8≤0

El problema se puede afrontar desde el siguiente punto de vista ¿qué valores de x hacen que x2–6x+8 tome un valor menor o igual a cero?.
Vemos que el problema se puede plantear desde el punto de vista de un estudio de signos. Pero la expresión x2–6x+8 ,tal cual , no nos permite hacer nada ; por eso la factorizamos , la escribimos de forma más conveniente para estudiar los signos.
Al factorizarla tenemos que la inecuación se puede escribir ahora ( x–2 )•( x–4 ) ≤ 0

Que se puede traducir diciendo “ el producto de (x–2) por ( x–4) debe ser un número menor o igual a cero".

Teniendo en cuenta las reglas de los signos en la multiplicación sabemos que para que un producto de dos cosas sea negativo estas dos deben tener signos distintos 

Creamos una recta en el plano carteciano para poner determinar su lugar dando los valores que hacen ( x–2 )•( x–4 ) ≤ 0  que son los del intervalo [2 ,4],
Es fácil ver la certeza de este resultado , por ejemplo si tomamos el valor x= 3 que está dentro de [2 , 4] . Para este valor es x–2>0 ( pues 3–2 = 1) y ( x–4)<0 ( pues 3–4=–1 ) luego el producto (x–2 )•( x–4 ) para x=3 es + por – = – (numéricamente 1•(–1)= –1<0 )


teniando en cuanta que esta no es exactamente la que mas entendi es mejor revisar este viedo me lo entendi mejor de esta manera:

Unidad 3: Radicacion, Definicion Propiedades Suma, Resta, Multiplicacion y Division

  Radicación: es encontrar la raíz de un número, la cual elevada a la correspondiente potencia, de como resultado el número inicial.
Así, por ejemplo, cuando multiplicamos 2 x 2 y obtenemos el producto 4, decimos que 2 es la raíz de 4, donde en este caso se ha multiplicado al número 2 una vez por sí mismo, es decir, lo hemos elevado al cuadrado (²).

ademas sigue algunas reglas: m y n serian un exponente cualquiera ademas que lo que resulta de ellos depende de la situacion

• Suma y Resta de Radicales:

este seria el caso de raices iguales, en el caso de diferentes se ordenan como un polinomio de mayor a menor y solo los coeficientes de raices iguales se suman o restan

• Multiplicacion y Division de Radicales:

este seria el caso de raices iguales, si no estan iguales se busca ponerlas iguales

en estos ejercicios se ve la diferencia cuando las raices son iguales y cuando no, ademas que las diviciones tiene un sistema de realizacion muy parecido a la multiplicacion

en el caso 3. Y 4. se multiplicaron las raices, en el caso 3 se multiplico 3x4 que dio 12 y esos tambien multiplicaron la de abajo en este caso la raiz 3 multiplico el exponente 1 del 5 que dio 5 a la 3 y en 2 se multiplico con el 4 que dio 2 a la 4, lo mismo se aplica con las divisiones

• Conjugacion de Radicales

aqui tambien preferi buscar un video para entenderlo por pasos

Ahora pasamos a las propiedades

Definicion: Cualidades de los objetos matemáticos, estudiadas por las distintas ramas de las matemáticas. Las propiedades matemáticas se pueden clasificar en distintos grupos de acuerdo con diversos criterios. Según los objetos que puedan cumplirlas se pueden distinguir, entre las más básicas y generales.

• Propiedades de la Suma

1. Conmutativa: el orden de los sumandos no alteran el resultado. Ej: 2+3 = 3+2
2. Asociativa: en una suma de 3 o mas sumandos se puede empezar sumando los 2 primeros y al resultado sumarle el tercero, o espesar sumando el segundo y el tercero y al resultado sumarle el primero. Ej: 3+5+6 = (3+5)+6 = 8+6 = 14, o 3+5+6 = 3+(5+6) = 3+11 = 14
3. Elemento Neutro: la suma tiene un elemento neutro que es el 0. si se le suma 0 a cualquier numero el resultado es el mismo numero

• Propiedades de la Resta

1. Minuendo: es el igual de la suma de sustraendo y la diferencia  Ej: 10(minuendo) - 7(sustraendo) = 3(diferencia), 7(sustraendo) + 3(diferencia) = 10(minuendo)
2. Sustraendo: es igual al minuendo menos la diferencia  Ej: 12(minuendo) - 8(sustraendo) = 4(diferencia) , 12(minuendo) - 4(diferencia) = 8(sustraendo)

• Propiedades de la Multiplicación

1. Conmutativa: el orden de los factores no altera el producto Ej: 2x3 = 3x2
2. Asociativa: en una multilicacion de 3 o mas factores se podria empezar multiplicando el primero por el segundo y el resultado multiplicarlo por el tercero, o empezar multiplicando el segundo por el tercero y el resultado multiplicarlo por el primero Ej: 4x2x5 = (4x2)x5 = 8x5 = 40, o 4x2x5 = 4x(2x5) = 4x10 = 40
3. Elemento Neutro: en la multiplicacion el elemento neutro es diferente de la suma en este caso es el 1, ya que si se multiplica cualquier numero por 1 el resultado es el mismo numero
4. Distributiva: cuando se multiplica un numero por una suma o resta se puede:

• Resolver primero la suma o resta y el resultado multiplicarlo por el numero.  Ej: (4x7)x3 = (11)x3 = 33
• O multiplicar el numero por cada uno de los elementos de la suma o resta y luego sumar o restar los resultados.  Ej: (4+7)x3 = (4x3)+(7x3) = 12+21 = 33

• Propiedades de la Division

1. Division exacta: 

• si el dividendo se multiplica o divide por un numero, el cociente queda multiplicado o dividido por dicho numero  Ej: 21(dividendo) : 7(divisor) = 3(cociente), si multiplicamos 21x2 seria: 42:7=6 (se nota que el 3 se multiplico por 2 tambien)
• si el divisor se multiplica o divide por un numero, el cociente sufre el efecto contrario, queda dividido si se multiplico anterioremente o queda multiplicado si se dividio anteriormnete   Ej: 20(dividendo) : 5(divisor) = 4(cociente), si multiplicamos 5x2 queda: 20x10= 2 ( se nota que el cociente tuvo el efecto contrario en este caso se dividio po 2)
• si el dividendo y divisor se multiplican o dividen por el mismo numero el cociente no cambia  Ej: 24:6=4 (si multiplicamos 24x2 y 6x2) seria 48:12=4 (el 4 permanece igual)

1. Division entera: si el dividendo y divisor se multiplican o dividen por el mismo numero el cociente no varia, pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho numero         Ej: 24:7=3 (el resto seria 2), si multiplicamos 24x2 y 7x2 seria, 46:14=3 (el resto seria 4), el cociente queda igual (3), pero el resto se multiplico por 2

Tambien se aplican casos especiales cuando son fracciones: (se debe recordar que el numero superior se llama Numerador y el numero inferior se llama Denominador)

• Cuando son una suma o resta de igual base (denominador) se deja la misma base y se resuelve solo la parte superior:   Ej: 4/5 + 8/5 = 4+8/5 = 12/5
• Cuando son una suma o resta de base diferente se multiplica cruzado  Ej: 8/6 - 4/9 = 8.9 + 6.4/6.9 = 72 + 24/54 = 96/54 = 48/27
• Cuando es una multiplicacion o divicion se multiplica o divide lineal, en otras palabras es solo numerador con numerador y denominador con denomidador.  Ej: 1/2 x 5/9 = 5/18

Tambien se aplican algunas de la propiedades de suma y resta, en este caso la asociativa: Ej: 5/6 + 1/9 + 3/4 = (5/6 + 1/9) + 3/4 = (45+6/54) + 3/4 = 51/54 + 3/4 = 204 + 162/216 = 366/216

Para cualquiera que no haya entendido bien las fracciones o prefiera la otra manera de colocar una fraccion como en la imagen anterior, encontre un video en Youtube de un chamo que lo explica bien

Unidad 2: Expresiones Algebraicas, Clasificacion de Polinomios, Producto Notable, Factorizacion de Polinomios

      bueno y sigo la unidad 2 que comprenden la matematica inicial de la carrera de Informatica en el IUTY

Expresiones Algebraicas: son formadas mediante el uso de constantes (numeros solos), variables (letras) y operaciones de suma, resta, multiplicacion y division, el uso de exponentes buscando raices. Ej: 3x-2y+5 (se tiene una expresion ya que tiene todos los elementos antes mencionados)

Polinomios: se llama polinomio a una expresion "a" que posee solamente operaciones de suma, resta, multiplicacion y division, ademas de elevar a potencia numeros naturales, poseer variables (letras) y constante (numeros solos), . Ej: -2x^2_3x+4

Terminos: es una expresion que esta separada por los signos + y - es decir siempre deben estar separados por signos, ademas los terminos de un polinomio se ordenan usualmente de modo que los exponentes de la variable van en orden de mayor a menor y de izquierda a derecha,esto se llama orden descendente. Ej: -4x,   5x⁴ - 3x³ + x² - x + 5 (este es el orden descendente) 

Variable: son las letras o mejor dicho incognitas que posee una expresion, normalmente se busca resolver estas incognitas. Ej: X o Y

Coeficiente: es un numero utilizado para multiplicar una variable. Ej: 3y ( el 3 seria el coeficiente)

Constante: es un termino que no contiene variables solamente posee un coeficiente. Ej: 4(solamente numeros solos)

Monomio: es un numero, una variable o un producto de numeros y variables. son numeros que se pueden multiplicar entre otros valores, en otras palabras son un termino. Ej: 7X

Binomio: son dos terminos.

Trinomio: son tres terminos.

Ademas en el caso de 4 terminos o mas solamente se le sigue llamando polinomio

Clasificación de Polinomios

• Adicion de Polinomios: para sumar polimonios basta con sumar o restarlos numeros coeficientes de los monomios semejantes. Las letras (variables) se dejan iguales. Ej:

• Resta de Polinomios: para restar polinomios hay que sumar al primero el opuesto del segundo, es decir, la segundo polinomio se multiplica por (-1) de esta manera los signos del segundo polinomio seran los opuestos y luego se realiza una suma normal

el segundo es 2c+3b-8a, se ordeno a -8a+3b+2c, luego se multiplico por -1 seria: -1 x -8a+3b+2c = 8a-3b-2c de ahi ena delante se realiza una suma normal

• Producto de un Polinomio por un Monomio: se multiplica cada monomio, si estos poseen variable (letras) iguales se quedan igual, si poseen variables diferentes se multiplican entre si quedando algo como (X x Y = XY) y los exponentes se suman entre si

• Productos de Polinomios: cada monomio de primer polinomio por todos los del segundo en la cual se multiplica cada uno de ellos, se toma en cuenta la tegla de los signos y se suman los exponentes y luego se agrupan los terminos semejantes, para terminar sumando o restanto estos terminos

   Producto Notable: son herramientas muy practicas que permiten simplificar las operaciones indicadas para la agilizacion en la busqueda de un resultado concreto

• Cuadrado perfecto o Binomio al cuadrado: su formula es

en el caso de negativo seria a - b, ademas que se reconoce que el numero 2 esta multiplicando a "a" y "b"

• Cubo de una suma: su formula es 

para la Factorizacion de Polinomios preferi dejar un video:

Unidad 1: Conjuntos Numericos Operaciones en R y Q (Suma, Resta, Multiplicacion y División)

        Buenas a todas las personas que vean esta entrada, bueno esta entrada o menor dicho el blog es mas parte de una asignatura para conseguir puntos, pero en realidad me gustaría que cualquier estudiante del IUTY Yaracuy o cualquier persona pueda hallarle utilidad a las unidades de matematica que voy a explicar, bueno vayamos a la unidad 1:

Conjunto: se podria describir como la agrupacion de objetos en este caso de numeros, asi: A={4,5}

   

Conjunto de Numeros Reales: es la union de los numeros racionales (abreviado Q) y los numeros irracionales (abreviado I), esto quiere decir que un numero real puede ser tanto racional como irracional y se describe asi: R=Q u I  (se podria leer como racionales unidos con irracinales)

• el conjunto de numeros reales es el conjunto de todos los numeros que corresponden a los puntos de las rectas en el plano carteciano

                                        

• el conjunto de numeros reales es el conjunto de todos los numeros que pueden expresarse con decimales, infinitos, periodicos o no periodico. Ej: 1,2 (decimales) = 1,200 (decimales infinitos periodicos)

• como los conjuntos de los elementos I no pertenecen al conjunto Q y viceversa la interpretacion de Q e I es un conjunto vacio

• el conjunto de numeros reales engloban a los conjuntos: 

   
   Con su uso progresivo en la matematica es mejor hacer un repaso a la Regla de los Signos:

-Cuando se ejecutan numeros del mismo signo se suman y se coloca el mismo signo. Ej: -4-5 = -9
-Cuando se ejecutan numeros de signos diferentes se restan y se coloca el signo del mayor. Ej: -6+3 = -3

-Cuando se multiplican signos iguales el resultado se coloca positivo. Ej: -5x-3 =15 
-Cuando se multiplican signos diferentes el resultado se coloca negativo. Ej: -8x4 =-32