Ecuaciónes: es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.
Un ejemplo simple seria tenenms el doble de manzanas que debimos traer, pero se comieron 5 ya y ahora solo quedan 7, es una operacion sencilla que se puede resolver en la cabeza, (en este caso la cantidad de manzanas es la incognita)
si decimos, 2X-5=7, se resuelve 2X=7+5, 2x=12, X=12/2, X = 6
y ahi podriamos quedar claro que X=6 al realizar, 2X-5=7, 2(6)-5=7, 12-5=7, 7 = 7
Ecuaciones de Primer Grado
Estos son los pasos para poder resolvelos:
- En primer lugar debemos “quitar los paréntesis o corchetes” , si es que existen. Para ello, operamos dentro de ellos y hacemos las operaciones asociadas externas (algo que multiplique o divida al paréntesis)
- Despues debemos “quitar denominadores” Para ello hacemos la suma de las fracciones que aparecen, podemos hacerlo de varias formas (como el caso de los denominadores pasan multiplicando a los numeradores del otro lado de la igualdad
- Por último operamos y separamos a un lado de la igualdad las incógnitas y al otro los números (recordemos que lo que suma pasa restando y viceversa).
Ecuaciones de Segundo Grado
Ya sabemos que toda expresión del tipo ax2(al cuadrado) + bx + c =0 ( donde a, b y c son
números) es una ecuación de segundo grado. Resolver esta ecuación consiste en encontrar los valores de x que hacen que la expresión sea cierta.
Por ejemplo en la ecuación de segundo grado
x2–2x–3=0 las soluciones son los números x =–1 y x =3 pues son los únicos que al sustituirlos en x2–2x–3 hacen que esa expresión sea igual a cero .
Asi:
Si x = –1 es (–1)2 –2.( –1) – 3 = 1+2–3 =0
Si x = 3 es ( 3 )2–2.( 3 ) – 3 = 9–6–3 =0
Para calcular estos valores basta con aplicar la fórmula:
Hay que tener cuidado pues al sustituir a, b y c por los valores correspondientes hay
que tener en cuenta los signos de estos.
Ej de otro ejercicio:
Inecuaciones: es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del tipo < o > (menor o mayor) se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo ≤ o ≥ (menor o igual que, mayor o igaul que) se denomina inecuación en sentido amplio.
La diferencia más clara es que en inecuaciones se usan símbolos del tipo > < , y ≥ ≤
Su significado es parecido al de las ecuaciones lo que ocurre es que son menos concretas, pues ,en general , las soluciones de una inecuación no van a ser ni una , ni dos , ni tres. Pueden incluso ser infinitas. Por ejemplo:
si decimos que una mesa tiene 140 cm, lo mido con la palma de mi mano y resulta que con 6 veces mi mano no fue suficiente, esto seria asi: (en este caso la longitud de mi mano es la incognita)
6X < 140, X < 140/6, X < 23,3 (y como se sabe esta no es una lectura exacta ya que abarca a todos los numeros menores que 23,3)
Inecuaciones de Primer Grado
Inecuaciones de Primer Grado
Ya sabemos que para resolverlas hay que aplicar los mismos pasos que para
resolver ecuaciones, asi:
Aquí está la única diferencia con el modo de trabajar en la ecuaciones, ya que en una Inecuacion se representa al final a que lado de la infinidad se trabaja el ejercicio en este caso al lado del negativo
Inecuaciones de Segundo Grado
Este tipo de inecuaciones son de la forma ax2(al cuadrado)+ bx + c < 0 , o con los símbolos >,≥,≤
Para resolverlas hay que factorizar el polinomio de segundo grado, es decir , encontrar los valores que permiten escribir el polinomio como producto de factores del tipo (x–a). Factorizar un polinomio de 2º grado es muy fácil , basta con saber que los números buscados son las soluciones del polinomio.
Por ejemplo , si el polinomio es x2–6x+8 , entonces aplicando, la formula
obtenemos que sus soluciones son : x = 2 y x = 4 . Esto quiere decir que :
x2–6x+8 = ( x–2 )•( x–4 )
Supongamos que queremos resolver la inecuación de 2ºgrado:
x2-6x+8≤0
El problema se puede afrontar desde el siguiente punto de vista ¿qué valores de x hacen que x2–6x+8 tome un valor menor o igual a cero?.
Vemos que el problema se puede plantear desde el punto de vista de un estudio de signos. Pero la expresión x2–6x+8 ,tal cual , no nos permite hacer nada ; por eso la factorizamos , la escribimos de forma más conveniente para estudiar los signos.
Al factorizarla tenemos que la inecuación se puede escribir ahora ( x–2 )•( x–4 ) ≤ 0
Que se puede traducir diciendo “ el producto de (x–2) por ( x–4) debe ser un número menor o igual a cero".
Teniendo en cuenta las reglas de los signos en la multiplicación sabemos que para que un producto de dos cosas sea negativo estas dos deben tener signos distintos
Creamos una recta en el plano carteciano para poner determinar su lugar dando los valores que hacen ( x–2 )•( x–4 ) ≤ 0 que son los del intervalo [2 ,4],
Es fácil ver la certeza de este resultado , por ejemplo si tomamos el valor x= 3 que está dentro de [2 , 4] . Para este valor es x–2>0 ( pues 3–2 = 1) y ( x–4)<0 ( pues 3–4=–1 ) luego el producto (x–2 )•( x–4 ) para x=3 es + por – = – (numéricamente 1•(–1)= –1<0 )
teniando en cuanta que esta no es exactamente la que mas entendi es mejor revisar este viedo me lo entendi mejor de esta manera:
